Polinomlar Konu Anlatımı - Örneklerle anlatım - Polinomlarda 4 işlem

Tanım :
   a_o , a₁ , a₂ ,   ,   , a_n elemanları REEL sayı ve   n   DOĞAL sayı olmak üzere ;

   P(x) = a_n xⁿ   +   a_n-1 x^n-1   + a_n-2 x^n-2   + ,   ,   ,   + a₂ x²   + a₁ x¹   + a_o x^o  

   ifadesine, reel katsayılı POLİNOM denir.

  ÖRNEK

   P(x) = x¹⁰   - 4 x⁸   + x³   + x²   + x + 5 Polinomunun;

• Derecesi kaçtır?
• Baş katsayısı kaçtır?
• Kaç terim vardır?
• Sabit terim P(0) kaçtır?
• 9. derecdden ve 3. dereceden terimlerinin katsayıları nedir?
• Katsayılar toplamı P(1) kaçtır?

  ÇÖZÜM

• D(P(x)) = 10   yani derecesi   "on"   dur.
• Baş katsayısı "1" dir.
• Katsayısı sıfır olmayan "6", sıfır olan "5" terim vardır.
• Sabit terim "5" tir.
• 9. dereceden terimin katsayısı "0",   3. dereceden terimin katsayısı "1" dir.
• P(1) = 1 - 4 . 1 + 1 + 1 + 1 + 5 = 5   bulunur.

  P(K(x)) verildiğinde, P(x) 'in bulunması;
   P(x+1) = 2x² + x + 1    ise,     P(x) = ?   ;   p(5) = ?
   Eğer sadece P(5) aranıyorsa;    x + 1 = 5    yapılarak   x = 4   bulunur. Demek ki;    p(4+1) = 2 (4)² + 4 + 1 = 37    bulunur.

   Eğer P(x) bulunması gerekiyorsa;    P(x+1) deki   (x+1)'in tersi bulunup, eşitliğin sağ tarafındaki ifadeye konulunursa;
  P(x) = 2(x-1)² + (x-1) + 1     P(x) = 2x² - 3x + 2 elde edilir. Artık P(5) isteniyorsa; x = 5   konarak   P(5) = 37   bulunur.

  Polinomlarda eşitlik
   Bunu dah iyi anlayabilmek için aşağıdaki örneği dikkatle takip edelim.

   1 = A (x+1) + B (x-1)    = >    1 = (A+B) x + (A-B)    sol taraftaki "1" olan polinom aslında;
   "0 . x + 1 " olup;   0 . x + 1 = (A+B) x + (A-B)    = > 0 = A + B    /    1 = A - B    = >    A = 1/2 ve B = -1/ 2
   bulunup bunların oranı istendiği için sonuç;    -1    olur.

 

  Polinomlarda 4 işlem
 

• Toplama / Çıkarma
            P(x)    =   3x³ - x² + 6x + 1
  +      Q(x)      =    x³ + x² + 1   
  _________         ________________
  P(x) + Q(x)    =    4x³ + 6x + 2      bulunur.
  
   
• Çarpma

  P(x) = x² + x + 1    ve    Q(x) = x² - 1    olsun      P(x) . Q(x) = ( x² + x + 1 ) . ( x² - 1 )    = x⁴ + x³ -2 x² - x + 1    bulunur.
  
   

• Bölme
  1. Adi Bölme
     
     
      
  2. Horner metodu ile bölme
     P(x) = 2 x² - x - 1    ve    Q(x) = x - 1    ise; P(x)'in Q(x) ile bölümünden bölüm ve kalan'ı bulalım.
     Q(x) = 0 yaparak    =>    x - 1 = 0    =>    x = 1 bulalım.     P(x)'in katsayıları sırasıyla;   2   -1    -1   
     
     bölüm: 2x+1    ve    kalan : 0    bulunur.    Yani;    2x² - x - 1 = ( 2x + 1 ) ( x - 1 )    yazılır.
     
      
  3. Kalan Teoremi metodu ile bölme
     P(x) polinomu,   (x - c )   ile bölündüğünde kalan'ın bulunması için;   x - c = 0   yapılarak    x = c    bulunur.   P(x) polinomunda
        x = c konursa,    P(c) ifadesine kalan adı verilir. Yani    P(c) = KALAN    olur.

    Çarpanlara Ayırma

• Ortak Paranteze alma
  ax + ay + az = a (x+y+z)
   
• Gruplandırma
  ax + bx +at + bt = a (x+t) + b (x+t) = (a+b) (x+t)
   
• İki Kare Farkı
  a² - b² = (a-b) (a+b)
   
• İki Küp Farkı
  a³ - b³ = (a-b) (a² + ab + b²)
   
• İki Küp Toplamı
  a³ + b³ = (a+b) (a² - ab + b²)
   
• ax² + bx + c üçterimlisinin 1. ve 3. terim çarpanlarına göre
  3x² -2x - 1
    |             |
  3x          +1
   x           -1
  __________
  -3x + x = -2x [ortadaki terimi verdi ]    =>    sonuç : (3x+1) (x-1) şeklinde bulunur.
  
  Not: Bazı kitaplarda bu seçenek sabit terim katsayısını çarpanlara ayırma metodu diye de kullanılıyor. Bana göre hatalı, neden mi? Benim örneğimde sadece sabit terim katsayısını değil, baş katsayının da çarpanlarını düşünüyoruz... Bu sebepten sonuçta çaprazlama çarpma işlemi yapılarak doğruluk sağlanıyorsa diye, biz, yani öğrencilerimle birlikte karar verip bu yöntemi ÇAPRAZ diye değiştirdik. İsteyen ismini bu şekilde de kullanabilir... ;))

 

Ö R N E K L E R

• P(x-3) = 3x² + - 7x + 6 veriliyor. P(x) polinomunun (x+2) ile bölümünden kalan kaçtır?

  x+2 = 0    =>    x = -2    => p( x-3 ) polinomunda    x-3 = -2    yapılarak    => x = 1   bulunur. Yani   P( 1 - 3 ) = 3 . 1² - 7 . 1 + 6
     => P(-2) = 3 - 7 + 6    => P(-2) = 2   yani kalan "2" bulunur.
  
   

• P(x) = x³ + x² + 3x + m    veriliyor. Polinomunun bir çarpanı    (x+2)    ise, "m" kaçtır?

  x+2 = 0    =>    x = -2 bulunur.    P( -2 ) = ( -2 )³ + ( -2 )² + 3 ( -2 ) + m = 0    => -8 + 4 - 6 + m = 0    => m = 10   bulunur.
  
   

• P(x) - Q(x) = 2x + 3    veriliyor.    Q(x)    polinomunun    (x-4)   ile bölümünden kalan    3    ise,   P(x)    polinomunun    (x-4)    ile bölümünden kalan kaçtır?

  x-4 = 0    =>    x = 4 bulunur.    P( 4 ) = Q ( 4 ) + 2 ( 4 ) - 3    yazılır.    İlk cümleden    Q( 4 ) = 3 dür. sonuçta
  P( 4 ) = 3 + 8 - 3 = 8    bulunur ki bu da istene yanıtdır.