İkinci Dereceden Denklemler - Matematik Konuları

İkinci Derece Denklemi

Tanım :
a, b ve c REEL SAYILAR olmak üzere ax² + bx + c = 0 denklemine reel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

a sıfır olduğu takdirde denklem, birinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüşür.
a sıfırdan farklı olduğu takdirde;
- c = 0 ise, denklemin köklerinden biri daima sıfır diğeri -b/a dır.
- b = 0 ise;
  - c > 0 ise, reel kök yoktur.
  - c < 0 ise, simetrik iki kök vardır.
a, b, c sıfırdan farklı olduğu takdirde;

3x² - 75 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
3x² - 75 = 0 => x² = 25 => x₁= -5 / x₂= 5 => Ç.K. {-5 , 5 }
3x² + 9x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
3x²+ 9x = 0 => 3x ( x+3 ) = 0 => 3x = 0 / x+3 = 0 Ç.K. {0 , -3 }
x² + 3x + 2= 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
- yol: ( x+1 ) ( x+2 ) = 0 şeklinde çarpanlara ayırarak x₁= -1 / x₂= -2 => Ç.K. {-2 , -1 } buluruz.
- yol; Diskriminat bulunarak;

Yukarıdaki denklemler görünüş olarak ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlere benzememekte olup;

Eşitliğin sol tarafındaki terimleri sağ tarafa geçirme (veya tersi) yapılarak,
x² + 3x + 1 - 4x - 12 = 0 => x² - x - 2 = 0 => Ç.K. { -1 , 2 } bulunur.
İçler dışlar çarpımı yapılarak i. maddeyi uygulayarak,
Köklü ifadeyi yalnız bırakıp her iki tarafın karesini almak ve daha sonra i. maddeyi uygulayarak,
=> x - 2 = ( x - 2 ) ² => x - 2 = x² - 4x + 4 = 0
x² - 5x + 6 = 0 => ( x - 2 ) ( x - 3 ) = 0 x₁= 2 / x₂= 3 => Ç.K. { 2 , 3 } buluruz.
Parantez içerisindeki ifadeye, başka bir değişken atayarak,
x² - 1 = u değişkenini atayalım. u² - u - 2 = 0 => Ç.K. { -1 , 2 } bulunur.
x² - 1 = -1 veya x² - 1 =2 yapılarak çözüm kümesi; bulunur.
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek,
3 x - 6 = 0 /
x = 2 3x² - 2x - 1 = 0 ( 3x + 1 ) ( x - 1 ) = 0 => Ç.K. { -1/3 , 1 , 2 } bulunur.
Payda sıfırdan farklı olmak üzere payı sıfıra eşitleyerek, bulunur.